概要
2人の子供問題（Boy or Girl paradox）は確率に関する有名なパラドックスである。
ある家庭に2人の子供がいる。1人が男の子の時、もう1人の子が男の子である確率はいくらか？
この問題の答えが1/2だという人もいれば、1/3だという人もいる。
これは「1人が男の子の時」という条件に複数の解釈が可能であるためである。
「1人が男の子の時」が1/2の確率で起こるのか、3/4の確率で起こるのかの違いである。
2人の子供がいるか→yes
どちらか一方の性別を教えてください。→男と答える確率は1/2
(男-男)1/2
(男-女)1/4
(女-男)1/4
少なくとも1人は男ですか→yesとなる確率は3/4
(男-男)1/3
(男-女)1/3
(女-男)1/3以下で詳しく説明する。
解説
2人の子供がいるかという質問にYesと答えた集団を考える。
- (男-男) 1/4
- (男-女) 1/4
- (女-男) 1/4
- (女-女) 1/4
の4通りである。
よって、ランダムに2人の子供を1組選ぶと、2人とも男((1人が男の子)かつ(もう1人も男の子))である確率が1/4、2人とも女である確率が1/4、男女の組がそろう確率が2/4=1/2である。
次に条件を考える。
答えが1/2となる場合
「1人が男の子の時」という条件を作る。
(男-男), (男-女), (女-男), (女-女)の集団に「どちらか一方の性別を教えてください」と質問すると半分が「男の子」と答え、もう半分が「女の子」と答えるだろう。つまり1人が男の子である確率は1/2である。
もとの集団である
- (男-男) 1/4
- (男-女) 1/4
- (女-男) 1/4
- (女-女) 1/4
を半分に分けると、「男の子」と答える集団は全体の1/2
- (男-男) 1/4
- (男-女) 1/8
- (女-男) 1/8
- (女-女) 0
「女の子」と答える集団は全体の1/2
- (男-男) 0
- (男-女) 1/8
- (女-男) 1/8
- (女-女) 1/4
よって、1人が男の子の時もう1人も男の子となる条件付き確率は
{(1人が男の子)かつ(もう1人も男の子)となる確率(1/4)}/{1人が男の子となる確率(1/2)}=1/2である。
答えが1/3となる場合
(男-男), (男-女), (女-男), (女-女)の集団にの集団に「少なくとも1人は男ですか」という質問をすると、2/3の(男-男), (男-女), (女-男)が「Yes」と答え、残り1/3の(女-女)が「No」と答えるだろう。
つまり、もとの集団である
- (男-男) 1/4
- (男-女) 1/4
- (女-男) 1/4
- (女-女) 1/4
を二つに分けると、「Yes」と答えた集団は全体の3/4
- (男-男) 1/4
- (男-女) 1/4
- (女-男) 1/4
- (女-女) 0
「No」と答えた集団は全体の1/4
- (男-男) 0
- (男-女) 0
- (女-男) 0
- (女-女) 1/4
よって、1人が男の子の時もう1人も男の子となる条件付き確率は
{(1人が男の子)かつ(もう1人も男の子)となる確率(1/4)}/{1人が男の子となる確率(3/4)}=1/3である。
まとめ
「1人が男の子の時」をどう解釈するかよって答えが変わってくる。
2人の子供がいるか→yes
どちらか一方の性別を教えてください。→男と答える確率は1/2
(男-男)1/2
(男-女)1/4
(女-男)1/4
少なくとも1人は男ですか→yesとなる確率は3/4
(男-男)1/3
(男-女)1/3
(女-男)1/3以下でいろいろなパラドックスの紹介がされています。
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