2人の子供問題とは

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「2人の子供問題」というパラドックスについてまとめます。

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概要

2人の子供問題(Boy or Girl paradox)は確率に関する有名なパラドックスである。

ある家庭に2人の子供がいる。1人が男の子の時、もう1人の子が男の子である確率はいくらか?

この問題の答えが1/2だという人もいれば、1/3だという人もいる。

これは「1人が男の子の時」という条件に複数の解釈ができてしまうためである。

「1人が男の子の時」が起こる確率が1/2か3/4かの違いである。

「1人が男の子の時」 ⇒ 「2人から1人を選んだら、男の子だった」と解釈
        (選んだ1人が男の子) 〇
        (選んだ1人が女の子) ×
        ⇒ 確率は1/2

「1人が男の子の時」 ⇒ 「2人のうち少なくとも1人は男の子だった」と解釈
        (男-男) 〇
        (男-女) 〇
        (女-男) 〇
        (女-女) ×
        ⇒ 確率は3/4

以下で詳しく説明する。

解説

まず、2人の子供がいるかという質問にYesと答えた集団を考える。

  • (男-男)
  • (男-女)
  • (女-男)
  • (女-女)

の4通りである。

よって、ランダムに2人の子供を1組選ぶと、2人とも男である確率が1/4、2人とも女である確率が1/4、男女の組がそろう確率が2/4=1/2である。

次に条件を考える。

答えが1/2となる場合

「1人が男の子の時(2人から1人を選んだら、男の子だった)」という条件を作る。

(男-男), (男-女), (女-男), (女-女)の集団に「どちらか一方の性別を教えてください」と質問すると半分が「男の子」と答え、もう半分が「女の子」と答えるだろう。つまり「1人が男の子である確率」は1/2である(と解釈する)。

  • 選んだ子供が男の子
  • 選んだ子供が女の子

また、「(1人が男の子)かつ(もう1人も男の子)となる確率」は、2人とも男である確率のことであるため1/4となる。

  • (男-男)
  • (男-女)
  • (女-男)
  • (女-女)

よって、1人が男の子の時もう1人も男の子となる条件付き確率は

{(1人が男の子)かつ(もう1人も男の子)となる確率(1/4)}/{1人が男の子となる確率(1/2)}=1/2

である。

答えが1/3となる場合

(男-男), (男-女), (女-男), (女-女)の集団にの集団に「男の子はいますか?」という質問をすると、3/4の(男-男), (男-女), (女-男)が「Yes」と答える。

  • (男-男)
  • (男-女)
  • (女-男)
  • (女-女)

先ほどと同様に、「(1人が男の子)かつ(もう1人も男の子)となる確率」は、2人とも男である確率のことであるため1/4となる。

  • (男-男)
  • (男-女)
  • (女-男)
  • (女-女)

よって、1人が男の子の時もう1人も男の子となる条件付き確率は

{(1人が男の子)かつ(もう1人も男の子)となる確率(1/4)}/{1人が男の子となる確率(3/4)}=1/3

である。

まとめ

「1人が男の子の時」をどう解釈するかよって答えが変わってくる。

2人の子供がいるか→yes
    どちらか一方の性別を教えてください。→男の子と答える確率は1/2
  この条件で、もう一人も男の子である確率は1/2
        (男-男)〇
        (男-女)×

    少なくとも1人は男の子ですか→yesとなる確率は3/4
  この条件で、もう一人も男の子である確率は1/3
        (男-男) 〇 ⇒ 〇
        (男-女) 〇 ⇒ ×
        (女-男) 〇 ⇒ ×
        (女-女) ×

以下でいろいろなパラドックスの紹介がされています。

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