2人の子供問題とは

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概要

2人の子供問題(Boy or Girl paradox)は確率に関する有名なパラドックスである。

ある家庭に2人の子供がいる。1人が男の子の時、もう1人の子が男の子である確率はいくらか?

この問題の答えが1/2だという人もいれば、1/3だという人もいる。

これは「1人が男の子の時」という条件に複数の解釈が可能であるためである。

「1人が男の子の時」が1/2の確率で起こるのか、3/4の確率で起こるのかの違いである。

2人の子供がいるか→yes
    どちらか一方の性別を教えてください。→男と答える確率は1/2
        (男-男)1/2
        (男-女)1/4
        (女-男)1/4
    少なくとも1人は男ですか→yesとなる確率は3/4
        (男-男)1/3
        (男-女)1/3
        (女-男)1/3

以下で詳しく説明する。

解説

2人の子供がいるかという質問にYesと答えた集団を考える。

  • (男-男) 1/4
  • (男-女) 1/4
  • (女-男) 1/4
  • (女-女) 1/4

の4通りである。

よって、ランダムに2人の子供を1組選ぶと、2人とも男((1人が男の子)かつ(もう1人も男の子))である確率が1/4、2人とも女である確率が1/4、男女の組がそろう確率が2/4=1/2である。

次に条件を考える。

答えが1/2となる場合

「1人が男の子の時」という条件を作る。

(男-男), (男-女), (女-男), (女-女)の集団に「どちらか一方の性別を教えてください」と質問すると半分が「男の子」と答え、もう半分が「女の子」と答えるだろう。つまり1人が男の子である確率は1/2である。

もとの集団である

  • (男-男) 1/4
  • (男-女) 1/4
  • (女-男) 1/4
  • (女-女) 1/4

を半分に分けると、「男の子」と答える集団は全体の1/2

  • (男-男) 1/4
  • (男-女) 1/8
  • (女-男) 1/8
  • (女-女) 0

「女の子」と答える集団は全体の1/2

  • (男-男) 0
  • (男-女) 1/8
  • (女-男) 1/8
  • (女-女) 1/4

よって、1人が男の子の時もう1人も男の子となる条件付き確率は

{(1人が男の子)かつ(もう1人も男の子)となる確率(1/4)}/{1人が男の子となる確率(1/2)}=1/2

である。

答えが1/3となる場合

(男-男), (男-女), (女-男), (女-女)の集団にの集団に「少なくとも1人は男ですか」という質問をすると、2/3の(男-男), (男-女), (女-男)が「Yes」と答え、残り1/3の(女-女)が「No」と答えるだろう。

つまり、もとの集団である

  • (男-男) 1/4
  • (男-女) 1/4
  • (女-男) 1/4
  • (女-女) 1/4

を二つに分けると、「Yes」と答えた集団は全体の3/4

  • (男-男) 1/4
  • (男-女) 1/4
  • (女-男) 1/4
  • (女-女) 0

「No」と答えた集団は全体の1/4

  • (男-男) 0
  • (男-女) 0
  • (女-男) 0
  • (女-女) 1/4

よって、1人が男の子の時もう1人も男の子となる条件付き確率は

{(1人が男の子)かつ(もう1人も男の子)となる確率(1/4)}/{1人が男の子となる確率(3/4)}=1/3

である。

まとめ

「1人が男の子の時」をどう解釈するかよって答えが変わってくる。

2人の子供がいるか→yes
    どちらか一方の性別を教えてください。→男と答える確率は1/2
        (男-男)1/2
        (男-女)1/4
        (女-男)1/4
    少なくとも1人は男ですか→yesとなる確率は3/4
        (男-男)1/3
        (男-女)1/3
        (女-男)1/3

以下でいろいろなパラドックスの紹介がされています。

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